Question

定義函數(shù)f_K（x）=

f(x)，  f(x) ＞K K， f(x) ≤ K

（K為給定常數(shù)），已知函數(shù)f（x）=

5

2

x2-3x2lnx，若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），恒有f_K（x）=K，則實(shí)數(shù)K的取值范圍為

[

3

2

e

2

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)f（x）在（0，+∞）的最大值，進(jìn)而得到k的取值范圍．

解答：解：當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=5x-（6xlnx+3x）=2x（1-3lnx），
令f′（x）＞0，解得0＜x＜e

1

3

，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，解得x＞e

1

3

，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
因此當(dāng)x=e

1

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f(e

1

3

)=

5

2

e

2

3

-3×e

2

3

×

1

3

=

3

2

e

2

3

．
故當(dāng)k≥

3

2

e

2

3

時(shí)，對(duì)于任意的x∈（0，+∞），恒有f_K（x）=K．
故答案為[

3

2

e

2

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、理解新定義等是解題的關(guān)鍵．