Question

在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD所在平面外取一點(diǎn)P，使PA⊥平面ABCD，且PA=AB，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G。 

（1）若CG=AC，求異面直線PG與CD所成角的大小；

（2）若CG=AC，求點(diǎn)C到平面PBG的距離；

（3）當(dāng)點(diǎn)G在AC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不含端點(diǎn)C），求二面角P-BG-C的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）（3）二面角P-BG-C的取值范圍是

解析:

分析：本題如利用“幾何法”，則通過(guò)“平移變換”將異面直線角化歸為三角形的內(nèi)角，由解三角形的方法求之，凡“點(diǎn)面距離”可利用等積法求之，至于二面角，則通過(guò)“作-證-算”三步曲求得；本題如利用“向量法”，則建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)公式而求之。

方法一：（1）過(guò)點(diǎn)G作GE∥CD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連PE，則∠PGE是異面直線PG與CD所成的角，，則由條件得GE=2a，PG=3a，

cos ∠PGE=,所以異面直線PG與CD所成角等于；

（2）設(shè)h,則利用等積法知，在△PBG中，PB=，PG=3a，BG=，，得，又在△CBG中，，從而由得；

（3）作CF⊥AC交PG于F，作FH⊥BG交BG于H，連CH，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，所以PA∥CG，得CG⊥平面ABCD，由三垂線定理得∠FHC是二面角P-BG-C的平面角，設(shè)，則由△CGF∽△AGP得，

在△CBG中，得

所以，從而

，所以二面角P-BG-C的取值范圍是。

方法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，O、0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a）。

由條件得G（2 a ，2 a ，0），

，

所以，

所以異面直線PG與CD所成角等于；

（2）設(shè)平面PBG的法向量為因，

所以由得，即又，

所以點(diǎn)C到平面PBG的距離為；

由條件設(shè)G（t,t,0）, 其中，平面PBG的法向量為

因，，所以由得，

即而平面CBG的法向量，

所以，因?yàn)?img width=36 height=16 id="_x268A6113Jkah_i1232" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/13/282413.gif">，所以，

易知二面角P-BG-C的平面角是銳角，所以二面角P-BG-C的平面角等于，所以二面角PP-BG-C的取值范圍是。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查異面直線所成角的空間想象能力,利用體積法求點(diǎn)面距離的運(yùn)算能力,二面角的估算能力,第(3)問(wèn)有機(jī)的將函數(shù)的值域與立體幾何結(jié)合,較好地考查學(xué)生綜合分析與解決問(wèn)題的能力.