Question

（2012•泰州二模）若動點P在直線l₁：x-y-2=0上，動點Q在直線l₂：x-y-6=0上，設線段PQ的中點為M（x₁，y₁），且（x₁-2）²+（y₁+2）²≤8，則x₁²+y₁²的取值范圍是

[8，16]

．

Answer 1

分析：由題意求出M所在的直線方程與圓及內(nèi)部的公共部分，M是一條線段，畫出圖形，通過

x

2 1

+

y

2 1

的幾何意義，求出它的范圍即可．

解答：解：因為動點P在直線l₁：x-y-2=0上，動點Q在直線l₂：x-y-6=0上，
設線段PQ的中點為M（x₁，y₁），所以M在直線x-y-4=0，
又M滿足（x₁-2）²+（y₁+2）²≤8，所以M的軌跡是直線x-y-4=0與圓及內(nèi)部的公共部分，M是一條線段，
如圖：

x

2 1

+

y

2 1

的幾何意義是坐標原點到線段x-y-4=0（0≤x≤4）距離的平方，因為圓的圖形過原點，
所以

x

2 1

+

y

2 1

的最小值為：8．最大值為：16．

x

2 1

+

y

2 1

的取值范圍是[8，16]．
故答案為：[8，16]．

點評：本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，M表示的直線段以及表達式的幾何意義是解題的關鍵，考查轉(zhuǎn)化思想計算能力．