Question

已知函數(shù)f(x)=

2x+1

+k定義域?yàn)镈，且方程f（x）=x在D上有兩個(gè)不等實(shí)根，則k的取值范圍是（　�。�

• A、-1＜k≤-

  1

  2

• B、

  1

  2

  ≤k＜1
• C、k＞-1
• D、k＜1

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f(x)=

2x+1

+k，我們可得方程f（x）=x的表達(dá)式，
（法一）我們可以根據(jù)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，然后分析臨界直線性質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，解不等式即可得到答案．
（法二）利用平方法去掉絕對(duì)值符號(hào)后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次方程在定區(qū)間有兩相異實(shí)根問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：依題意

2x+1

=x-k在[-

1

2

，+∞)上有兩個(gè)不等實(shí)根．
（方法一）問(wèn)題可化為y=

2x+1

和y=x-k在[-

1

2

，+∞)上有兩個(gè)不同交點(diǎn)、
對(duì)于臨界直線m，應(yīng)有-k≥

1

2

，即k≤-

1

2

．
對(duì)于臨界直線n，化簡(jiǎn)方程

2x+1

=x-k，
得x²-（2k+2）x+k²-1=0，
令△=0，解得k=-1，
∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，
∴-k＜1，即k＞-1．
綜上，-1＜k≤-

1

2

．
（方法二）化簡(jiǎn)方程

2x+1

=x-k，
得x²-（2k+2）x+k²-1=0．
令g（x）=x²-（2k+2）x+k²-1，
則由根的分布可得

g(- 1 2 )≥0 k+1＞- 1 2 △＞0

，即

(k+ 1 2 )2≥0 k＞- 3 2 k＞-1

，
解得k＞-1．又

2x+1

=x-k，
∴x≥k，∴k≤-

1

2

．
綜上，-1＜k≤-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)已知條件，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．