Question

已知拋物線x²=8y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M
（1）證明線段FM被x軸平分；       
（2）計(jì)算的值；
（3）求證|FM|²=|FA|•|FB|．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求直線AM的方程為：，直線BM的方程為：，解方程可求M，由已知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+2，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求線段FM中點(diǎn)的縱坐標(biāo)O，可證
（2）由，利用向量的數(shù)量積，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求
（3）由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可知，即AM⊥MB，而 MF⊥AB，在直角△MAB中，利用射影定理可證
解答：證明：（1）設(shè)，由得
直線AM的方程為：
直線BM的方程為：
解方程組得即M（）（3分） 
由已知可得A，A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+2
與拋物線方程x²=8y聯(lián)立消y可得：x²-8kx-16=0
∴x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16（5分）
∴即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
∵F（0，2）
所以線段FM中點(diǎn)的縱坐標(biāo)O
即線段FM被x軸平分．                 （6分）
解（2）∵F（0，2），M（4k，-2），，
∴
∴
==0   （9分）
證明：
∵==-8+4+4=0（13分）
∴，而 MF⊥AB所以在直角△MAB中，
由影射定理即得|FM|²=|FA|•|FB|（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，直角三角形的射影定理的應(yīng)用，屬于知識(shí)的綜合應(yīng)用．