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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=
          20
          3
          ,橢圓C2的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0),C2的離心率為
          2
          2
          ,如果C1與C2相交于A、B兩點,且線段AB恰為圓C1的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程.
          分析:e=
          2
          2
          得,b2=c2,設橢圓方程為:
          x2
          2b2
          +
          y2
          b2
          =1
          ,令A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得圓心C1(2,1)為AB中點,A,B均在橢圓C2上,
          x12
          2b2
          +
          y12
          b2
          =1,
          x22
          2b2
          +
          y22
          b2
          =1
          ,兩式相減得:
          4(x1-x2)
          2b2
          +
          2(y1-y2)
          b2
          =0
          ,kAB=
          y1-y2
          x1-x2
          =-1
          ,再由根的判別式結合題設條件可求出直線AB的方程和橢圓C2的方程.
          解答:e=
          2
          2
          c
          a
          =
          2
          2
          ,
          ∴a2=2c2,b2=c2,
          設橢圓方程為:
          x2
          2b2
          +
          y2
          b2
          =1
          (2分)
          令A(x1,y1),B(x2,y2),
          由已知得圓心C1(2,1)為AB中點,
          ∴x1+x2=4,y1+y2=2,
          又A,B均在橢圓C2上,
          x12
          2b2
          +
          y12
          b2
          =1,
          x22
          2b2
          +
          y22
          b2
          =1

          兩式相減得:
          (x1+x2)(x1-x2)
          2b2
          +
          (y1+y2)(y1-y2)
          b2
          =0

          4(x1-x2)
          2b2
          +
          2(y1-y2)
          b2
          =0

          kAB=
          y1-y2
          x1-x2
          =-1
          ,
          即直線AB的方程為y-1=-(x-2)即x+y-3=0(6分)
          將y=-x+3代入
          x2
          2b2
          +
          y2
          b2
          =1
          得3x2-12x+18-2b2=0(9分)
          x1+x2=4,x1x2=
          18-2b2
          3
          由直線AB與橢圓C2相交,
          ∴△=122-12(18-2b2)=24b2-72>0即b2>3,
          |AB|=
          2
          |x1-x2|=
          2
          (x1+x2)2-4x1x2
          =2•
          20
          3
          (11分)
          16-4•
          18-2b2
          3
          =
          40
          3
          解得b2=8,故所求的橢圓方程為
          x2
          16
          +
          y2
          8
          =1
          (13分)
          點評:本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題,解題時要認真審題,合理解答,注意公式的合理運用.
          練習冊系列答案
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