Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．若存在常數(shù)c＞0，對(duì)?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），則稱函數(shù)f（x） 具有性質(zhì)P．給定下列三個(gè)函數(shù)：①f（x）=|x|，②f（x）=sinx，③f（x）=x³-x其中，具有性質(zhì)P的函數(shù)的序號(hào)是（　�。�

A．①

B．③

C．①②

D．②③

Answer 1

分析：①因?yàn)閒（x）=|x|不是R上的增函數(shù)，不具有具有性質(zhì)P；②因?yàn)閒（x）=sinx的最小正周期為2π，不是在R上的增函數(shù)，不具有性質(zhì)P；③求導(dǎo)數(shù)可得：函數(shù)在（-

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，

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）內(nèi)遞減，要想滿足f（x+c）＞f（x-c），只須c＞

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 就可說(shuō)明具有性質(zhì)P．

解答：解：①因?yàn)閒（x）=|x|不是R上的增函數(shù)，所以不滿足f（x+c）＞f（x-c），故此函數(shù)f（x）不具有具有性質(zhì)P．
 ②因?yàn)閒（x）=sinx的最小正周期為2π，不是在R上的增函數(shù)，所以不滿足f（x+c）＞f（x-c），故此函數(shù)f（x）不具有性質(zhì)P．
③∵f（x）=x³-x，∴f′（x）=3x²-1，當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，f′（x）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是遞減函數(shù)．
即在（-

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，

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）內(nèi)遞減，要想滿足f（x+c）＞f（x-c），只須c＞

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 就可以了，不妨取c=1，．
所以，存在常數(shù)c=1，滿足f（x+c）＞f（x-c）．故此函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義，命題真假的判斷，函數(shù)的周期性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．