Question

設(shè)α∈(0，

π

2

)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，有f(

x+y

2

)=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），則α=

 

，f(

1

2

)=

 

．

Answer 1

分析：（1）分別給x，y賦值0，1得到一個(gè)f（

1

2

）表達(dá)式；在給x，y分別賦值1，0得到f（

1

2

）的另一個(gè)表達(dá)式，列出方程求出f（

1

2

）．
（2）由（1）中得到的sinα=

1

2

求出角α．

解答：解：（1）f（

1

2

）=f（

0+1

2

）
=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）
=1-sinα
又f（

1

2

）=f（

1+0

2

）
=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）
=sinα
所以1-sinα=sinα   解得  sinα=

1

2

故f（

1

2

）=sinα=

1

2

（2）由（1）知sinα=

1

2

又a∈（0，

π

2

）
所以a=

π

6

故答案為：

π

6

；

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過賦值的方法解決抽象函數(shù)的函數(shù)值問題．