Question

【題目】已知函數(shù)R.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)a≤0，在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）遞減；當(dāng)，在（0，2）和上單調(diào)遞增，在（2，）遞減；當(dāng)a=，在（0，+∞）遞增；當(dāng)a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（，2）遞減；(2) .

【解析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（1）知當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，可證明，有兩個零點等價于，得，可證明，當(dāng)時與當(dāng)且時，至多一個零點，綜合討論結(jié)果可得結(jié)論.

（1）的定義域為，

，

（i）當(dāng)時，恒成立，

時，在上單調(diào)遞增；

時，在上單調(diào)遞減.

（ii）當(dāng)時，由得，（舍去），

①當(dāng)，即時，恒成立，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時，或，

恒成立，在上單調(diào)遞增；

時，恒成立，在上單調(diào)遞減.

③當(dāng)，即時，或時，恒成立，

在單調(diào)遞增，

時，恒成立，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由（1）知當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

又，取，令，

則在成立，故單調(diào)遞增，

，

，

有兩個零點等價于，得，

，

當(dāng)時，，只有一個零點，不符合題意；

當(dāng)時，在單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不符合題意；

當(dāng)且時，有兩個極值，

，

記，

，

令，則，

當(dāng)時，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在單調(diào)遞減，

故在單調(diào)遞增，

時，，故，

又，

由（1）知，至多只有一個零點，不符合題意，

綜上，實數(shù)的取值范圍為.