Question

求函數(shù)y=sin（

π

3

+4x）+cos（4x-

π

6

）的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值．

Answer 1

分析：經(jīng)觀察，（

π

3

+4x）+（

π

6

-4x）=

π

2

，從而利用誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)中的恒等變換可將原式化為y=2sin（4x+

π

3

），從而可求其周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值．

解答：解：∵（

π

3

+4x）+（

π

6

-4x）=

π

2

，
∴cos（4x-

π

6

）=cos（

π

6

-4x）=sin（

π

3

+4x），
∴原式就是y=2sin（4x+

π

3

），這個函數(shù)的最小正周期為

2π

4

，即T=

π

2

．
當(dāng)-

π

2

+2kπ≤4x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）時函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

24

+

kπ

2

，

π

24

+

kπ

2

]（k∈Z）．
當(dāng)

π

2

+2kπ≤4x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）時函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

24

+

kπ

2

，

7π

24

+

kπ

2

]（k∈Z）．
當(dāng)x=

π

24

+

kπ

2

（k∈Z）時，y_max=2；
當(dāng)x=-

5π

24

+

kπ

2

（k∈Z）時，y_min=-2．

點評：本題考查誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)中的恒等變換，觀察到“（

π

3

+4x）+（

π

6

-4x）=

π

2

”是關(guān)鍵，也是解題中的亮點，屬于中檔題．