Question

已知雙曲線的一條漸近線方程為，左、右頂點分別為A、B，右焦點為F，|BF|=1，過F作直線交此雙曲線的右支于P、Q兩點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若，求△PBQ的面積S．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)雙曲線方程的標準方程：，結合題意可得關于a、b、c的方程組，解可得答案；
（2）分兩種情況討論：第一種情況：若直線PQ的斜率不存在，不合題意；第二種情況：若直線PQ的斜率存在，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ的方程為y=k（x-2），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用向量的數(shù)量積公式即可求得k值，從而解決問題．
解答：解：（1）由題意得：
解得：
∴雙曲線方程為--------------------------------------------------------（4分）
（2）第一種情況：若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x=2P（2，3）、Q（2，-3），
，不合題意；--------------------------------（6分）
第二種情況：若直線PQ的斜率存在，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線PQ的方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程可得：（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0（*） 
且判別式△=36k²+36＞0--（7分）
由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以3-k²≠0，且，解得k³＞3-----------（8分）
所以
而，由于，所以x₁x₂+y₁y₂=-17
所以，得k²=4＞3
此時x₁+x₂=16，x₁x₂=19，y₁y₂=-36，y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=12k
所以=
即△PBQ的面積是-----------（11分）
點評：本題考查雙曲線的標準方程、雙曲線的有關性質，（2）的計算運用了坐標法，結合向量的數(shù)量積的運算，是典型的解析幾何方法，需要加強訓練．