Question

已知圓O的半徑為1，半徑OA、OB的夾角為θ（0＜θ＜π），θ為常數(shù)，點(diǎn)C為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，若

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，則x+y的最大值為

1

cos θ 2

．

Answer 1

分析：利用向量的模的運(yùn)算性質(zhì)與向量的數(shù)量積可求得x+y與θ的關(guān)系式，利用基本不等式與三角函數(shù)的升冪公式及可求得答案．

解答：解：∵圓O的半徑為1，半徑OA、OB的夾角為θ（0＜θ＜π），點(diǎn)C為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），
∴

OC

2=(x

OA

+y

OB

)2=x²+2xycosθ+y²=1，
∴（x+y）²-2xy+2xycosθ=1，
∴2xy（1-cosθ）=（x+y）²-1，
∵0＜θ＜π，
∴1-cosθ≠0，
∴2xy=

(x+y)2-1

1-cosθ

，不妨令x＞0，y＞0，
則2xy=

(x+y)2-1

1-cosθ

≤2×(

x+y

2

)2，令t=x+y（x＞0，y＞0），
則t²-1≤

1

2

t²（1-cosθ），
整理得：t²≤

2

1+cosθ

=

2

2cos2 θ 2

=

1

cos2 θ 2

，
∴0＜t≤

1

cos θ 2

．
即x+y≤

1

cos θ 2

．
故答案為：

1

cos θ 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的模的運(yùn)算性質(zhì)與向量的數(shù)量積，著重考查基本不等式與三角函數(shù)的升冪公式的應(yīng)用，考查換元思想與化歸思想，屬于難題．