Question

【題目】已知橢圓的離心率為短軸頂點(diǎn)在圓上.

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，若斜率為1的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，試探究以為底邊的等腰三角形是否存在？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，由題意可得：，且，由此能求出橢圓的方程；（Ⅱ）以為底的等腰三角形存在．設(shè)斜率為1的直線的方程為，代入中，得：，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出直線的方程.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，由題意可得：得

所以，橢圓的方程為.

（Ⅱ）以為底的等腰三角形存在.理由如下：

設(shè)斜率為1的直線的方程為，代入中，

化簡(jiǎn)得：，①

因?yàn)橹本�與橢圓相交于兩點(diǎn)，所以由解得②

設(shè)，則；③

于是的中點(diǎn)滿足；

已知點(diǎn)，若以為底的等腰三角形存在，

則，即，④將 代入④式，

得滿足②

此時(shí)直線的方程為.