Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^{（2k-1）（3-k）}（k∈z）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由冪指數(shù)大于0求解正數(shù)k的值，代入冪指數(shù)驗(yàn)證是否為偶數(shù)得答案；
（2）把f（x）的解析式代入g（x），由二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間[-1，1]的關(guān)系列式求解m的范圍．

解答：解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=x^{（2k-1）（3-k）}（k∈z）是（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴（2k-1）（3-k）＞0，解得

1

2

＜k＜3．
∵k∈z，
∴k=1或k=2．
當(dāng)k=1時(shí)，（2k-1）（3-k）=2，滿足函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)k=2時(shí)，（2k-1）（3-k）=3，不滿足函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
∴k=1，則f（x）=x²；
（2）∵f（x）=x²，
∴g（x）=f（x）-mx=x²-mx．
對(duì)稱軸方程為x=

m

2

．
要使函數(shù)g（x）在x∈[-1，1]時(shí)為單調(diào)函數(shù)，則

m

2

≤-1或

m

2

≥1，
解得m≤-2或m≥2．
∴m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了冪函數(shù)的圖象與其指數(shù)之間的關(guān)系，考查了二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，關(guān)鍵是熟記冪函數(shù)的概念及其性質(zhì)，是中低檔題．