Question

已知兩直線l₁、l₂的方程分別為mx+（2m-1）y-1=0、mx+y-m+1=0
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，l₁∥l₂？
（2）若P（4，-2），求當(dāng)點(diǎn)P到直線l₁距離最大時(shí)m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩條直線平行的條件，建立關(guān)于m的等式，解出m=1或m=0．再分情況討論，可得當(dāng)當(dāng)m=0時(shí)l₁與l₂重合，不合題意舍去．由此即可得到實(shí)數(shù)m的值；
（2）化簡直線l₁，可得定點(diǎn)Q（2，-1）在直線l₁上，由平面幾何性質(zhì)可得PQ⊥l₁時(shí)點(diǎn)P到直線l₁距離最大，由此利用垂直直線的斜率關(guān)系列式，即可解出實(shí)數(shù)m的值．

解答：解（1）若直線滿足l₁∥l₂，可得m×1=（2m-1）×m，
得2m²-2m=0，解之得m=1或m=0，…..（2分）
①當(dāng)m=1時(shí)，l₁：x+y-1=0，l₂：x+y=0，l₁∥l₂，符合題意．…（4分）
②當(dāng)m=0時(shí)，l₁：-y-1=0，l₂：y+1=0，則l₁與l₂重合，不合題意
∴m=1…（6分）
（2）l₁方程可化為m（x+2y）-y-1=0，可得l₁恒過定點(diǎn)Q（2，-1）…．（8分）
∵直線PQ的斜率kPQ=-

1

2

，
∴當(dāng)直線PQ⊥l₁時(shí)，點(diǎn)P到直線l₁距離最大，…（10分）
可得-

m

2m-1

•(-

1

2

)=-1，解之得m=

2

5

…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了直線的基本量與基本形式、直線的平行與垂直等位置關(guān)系的應(yīng)用．