Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓 的左焦點為，右頂點為，上頂點為．

（1）已知橢圓的離心率為，線段中點的橫坐標為，求橢圓的標準方程；

（2）已知△外接圓的圓心在直線上，求橢圓的離心率的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用橢圓的離心率以及已知條件轉(zhuǎn)化求解a，b即可得到橢圓方程．

（2）A（a，0），F（﹣c，0），求出線段AF的中垂線方程為：．推出，求出線段AB的中垂線方程，推出b＝c，然后求解橢圓的離心率即可．

（1）因為橢圓 的離心率為，

所以，則．

因為線段中點的橫坐標為，

所以．

所以，則，．

所以橢圓的標準方程為．

（2）因為，

所以線段的中垂線方程為：．

又因為△外接圓的圓心C在直線上，

所以．因為，

所以線段的中垂線方程為：．

由C在線段的中垂線上，得，

整理得，，

即．

因為，所以．

所以橢圓的離心率．