Question

（2012•焦作模擬）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)是（　�。�

• A．f（x）=x|x|
• B．f（x）=-x³
• C．f（x）=sinx(x∈[0，

  π

  2

  ])
• D．f（x）=

  lnx

  x

Answer 1

分析：四個選項(xiàng)中都給出了具體的函數(shù)解析式，其中選項(xiàng)A是分段函數(shù)，可由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）知函數(shù)為奇函數(shù)，在分析x＞0時函數(shù)的增減性，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性進(jìn)一步得到函數(shù)在整個定義域內(nèi)的增減性；
選項(xiàng)B舉一反例即可；
C、D中的兩個函數(shù)，定義域均不關(guān)于原點(diǎn)對稱，都不是奇函數(shù)．

解答：解：由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），知函數(shù)f（x）=x|x|為奇函數(shù)，又f（x）=x|x|=

x2   (x＞0) -x2  (x＜0)

當(dāng)x＞0時，f（x）=x²在（0，∞）上為增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，
所以當(dāng)x＜0時，f（x）=-x²在（-∞，0）上也為增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=x|x|在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，故A正確．
∵2＞1，而-2³＜-1³，所以函數(shù)f（x）=x³在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故B不正確．
∵x∈[0，

π

2

]不關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f（x）=sinx(x∈[0，

π

2

])在給定的定義域內(nèi)不是奇函數(shù)，故C不正確．
∵f（x）=

lnx

x

的定義域?yàn)閧x|x＞0}，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)f（x）=

lnx

x

在定義域內(nèi)不是奇函數(shù)，故D不正確．
故選A．

點(diǎn)評：怕斷函數(shù)的奇偶性，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對稱，由f（-x）=-f（x）知函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，由f（-X）=f（x）知函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)；若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域內(nèi)函數(shù)是非奇非偶的．有時也可以根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)分析，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，關(guān)于y軸軸對稱是函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件．