Question

【題目】已知橢圓過點，且橢圓的離心率．

（1）求橢圓的標(biāo)淮方程；

（2）直線過點且與橢圓相交于、兩點，橢圓的右頂點為，試判斷是否能為直角．若能為直角，求出直線的方程，若不行，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不能為直角，證明見解析.

【解析】

（1）可得，．．即可得橢圓的標(biāo)淮方程．

（2）對直線的斜率分兩種情況討論：①當(dāng)直線垂直軸時，易得不能為直角；

②當(dāng)直線不垂直軸時，可設(shè)直線代入橢圓方程，消去可得到關(guān)于的一元二次方程，再利用反證法，假設(shè)，得到與事實相矛盾，從而證明不能為直角.

（1）橢圓過點，，

橢圓的離心率，．

，．

橢圓的標(biāo)淮方程為：.

（2）①當(dāng)直線垂直軸時，易得，．

橢圓的右頂點為，，，

，是不為直角．

②當(dāng)直線不垂直軸時，可設(shè)直線代入橢圓方程，

消去可得：，

設(shè)，，，，則有，，

又，，，，，

若是為直角：

則

，

解得，不符合題意．

故不能為直角．