Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，設(shè)F（x）=f（x）-f（a-x）．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：F（x）是R上的增函數(shù)；
（2）證明：函數(shù)y=F（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

a

2

，0）成中心對(duì)稱圖形．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟，第一步，設(shè)所給區(qū)間上任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，第二步，作差比較F（x₁）與F（x₂）的大小，第三步，得出結(jié)論，本題嚴(yán)格按照步驟去做，比較F（x₁）與F（x₂）時(shí)，要借助函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）要證明函數(shù)y=F（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

a

2

，0）成中心對(duì)稱圖形，只需證明函數(shù)y=F（x）的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)
（

a

2

，0）的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)y=F（x）的圖象上即可，先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出函數(shù)y=F（x）的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)
（

a

2

，0）的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再代入函數(shù)y=F（x）的解析式，看是否成立即可．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則F（x₁）-F（x₂）
=f（x₁）-f（a-x₁）-[f（x₂）-f（a-x₂）]．
=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（a-x₂）-f（a-x₁）]．
∵x₁＜x₂，∴-x₁＞-x₂，∴a-x₁＞a-x₂，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，∴f（x₁）＜f（x₂），f（a-x₂）＜f（a-x₁）．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（a-x₂）-f（a-x₁）＜0．
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（a-x₂）-f（a-x₁）]＜0．
即F（x₁）＜F（x₂），
∴F（x）是R上的增函數(shù)．
（2）設(shè)M（x₀，y₀）為函數(shù)y=F（x）的圖象上任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀）關(guān)于點(diǎn)（

a

2

，0）的對(duì)稱點(diǎn)為N（m，n），
則

a

2

=

x0+m

2

，0=

y0+n

2

，，∴m=a-x₀，n=-y₀，
∵把m=a-x₀代入F（x）=f（x）-f（a-x）．
得，f（a-x₀）-f（a-a+x₀）=f（a-x₀）-f（x₀）=-y₀=n
即點(diǎn)N（m，n）在函數(shù)F（x）的圖象上．
∴函數(shù)y=F（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

a

2

，0）成中心對(duì)稱圖形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，以及抽象函數(shù)對(duì)稱性的判斷，做題時(shí)嚴(yán)格按照定義去做．