Question

（2012•邯鄲一模）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=log₂（|x-1|+|x+2|-a）．
（Ⅰ）當(dāng)a=7時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，|x-1|+|x+2|＞7，故有：

x≥1 x-1+x+2＞7

，或

-2＜x＜1 -x+1+x+2＞7

，或

x≤-2 -x+1-x-2＞7

，把各個不等式組的解集取并集，即得所求．
（Ⅱ）由不等式可得|x-1|+|x+2|≥a+8恒成立，再由|x-1|+|x+2|的最小值等于3，故有a+8≤3，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知：|x-1|+|x+2|＞7，
不等式的解集是以下不等式組解集的并集：

x≥1 x-1+x+2＞7

，或

-2＜x＜1 -x+1+x+2＞7

，或

x≤-2 -x+1-x-2＞7

…（3分）
解得函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-4）∪（3，+∞）；     …（5分）
（Ⅱ）不等式f（x）≥3，即|x-1|+|x+2|≥a+8，
∵x∈R時，恒有|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，…（8分）
∵不等式|x-1|+|x+2|≥a+8解集是R，
∴a+8≤3，
∴a的取值范圍是（-∞，-5]．            …（10分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．