Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx－ax+－1.

(1) 當(dāng)a=1時(shí), 過原點(diǎn)的直線與函數(shù)f(x)的圖象相切于點(diǎn)P, 求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2) 當(dāng)0＜a＜時(shí), 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3) 當(dāng)a=時(shí), 設(shè)函數(shù)g(x)=x²－2bx－, 若對(duì)于x₁∈, [0, 1]使f(x₁)≥g(x₂)成立, 求實(shí)數(shù)b的取值范圍.（e是自然對(duì)數(shù)的底, e＜+1）.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 增區(qū)間為減區(qū)間為， (3)

【解析】

試題分析：函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072612454107726309/SYS201307261246347223726504_DA.files/image007.png">，                 （2分）

（1）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，，∴                  （3分）

解得，故點(diǎn)P 的坐標(biāo)為                             （4分）

（2）

∵ ∴                                   （6分）

∴當(dāng)，或時(shí)，當(dāng)時(shí)，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

單調(diào)遞減區(qū)間為，                                  （8分）

（3）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，

∵，又，∴，

∴，故函數(shù)在上的最小值為         （10分）

若對(duì)于，使 ≥成立在上的最小值不大于

在上的最小值（*）     （11分）

又，

①當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，與（*）矛盾

②當(dāng)時(shí)，，由及得，

③當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，，

此時(shí)

綜上，的取值范圍是（14分）

考點(diǎn)：曲線的切線，函數(shù)單調(diào)性最值

點(diǎn)評(píng)：第一問函數(shù)曲線與某直線相切時(shí)，充分利用切點(diǎn)坐標(biāo)與直線曲線的聯(lián)系尋求關(guān)系式，第二問求單調(diào)區(qū)間主要通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)分別求得單調(diào)增減區(qū)間，第三問首先將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，須認(rèn)真分析清楚需要比較的是最大值還是最小值，這一點(diǎn)是容易出錯(cuò)的地方