Question

如圖，已知點(diǎn)P在圓柱OO₁的底面圓O上，AB為圓O的直徑，OA=2，∠AOP=120°，三棱錐A₁-APB的體積為

8

3

3

．
（1）求圓柱OO₁的表面積；
（2）求異面直線A₁B與OP所成角的大小．  （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析：（1）由題意可得AP=2

3

，BP=2，進(jìn)而可得關(guān)于AA₁的等式，可得AA₁，代入表面積公式可得答案；
（2）取AA₁中點(diǎn)Q，連接OQ，PQ，可得∠POQ或它的補(bǔ)角為異面直線A₁B與OP所成的角，由余弦定理可得cos∠POQ=

PO2+OQ2-PQ2

2PO•OQ

，代入數(shù)值可得答案．

解答：解：（1）由題意，在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，所以AP=2

3

…（1分）
在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，所以BP=2…（2分）
∴VA1-APB=

1

3

S△APB•AA1=

1

3

•

1

2

•2

3

•2•AA1=

8

3

3

，解得AA₁=4，…（4分）
故S表=2π•22+2π•2•4=24π．…（6分）
（2）取AA₁中點(diǎn)Q，連接OQ，PQ，則OQ∥A₁B，
得∠POQ或它的補(bǔ)角為異面直線A₁B與OP所成的角．…（8分）
又AP=2

3

，AQ=AO=2，得OQ=2

2

，PQ=4，
由余弦定理得cos∠POQ=

PO2+OQ2-PQ2

2PO•OQ

=-

2

4

，…（10分）
得異面直線A₁B與OP所成的角為arc cos

2

4

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查圓柱的表面積，以及異面直線所成的角，屬中檔題．