Question

如圖，在大沙漠上進(jìn)行勘測(cè)工作時(shí)，先選定一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，然后采用如下方法進(jìn)行：從原點(diǎn)出發(fā)，在x軸上向正方向前進(jìn)a（a＞0）個(gè)單位后，向左轉(zhuǎn)90°，前進(jìn)a r（0＜r＜1=個(gè)單位，再向左轉(zhuǎn)90°，又前進(jìn)a r²個(gè)單位，…，如此連續(xù)下去．
（1）若有一小分隊(duì)出發(fā)后與設(shè)在原點(diǎn)處的大本營(yíng)失去聯(lián)系，且可以斷定此小分隊(duì)的行動(dòng)與原定方案相同，則大本營(yíng)在何處尋找小分隊(duì)？
（2）若其中的r為變量，且0＜r＜1，則行動(dòng)的最終目的地在怎樣的一條曲線(xiàn)上？

Answer 1

分析：（1）小分隊(duì)按原方案走，小分隊(duì)最終應(yīng)在運(yùn)動(dòng)的極限位置．
（2）可先求最終目的地關(guān)于r的參數(shù)形式的方程，消去參數(shù)即可得到曲線(xiàn)的方程．

解答：解：（1）由已知可知小分隊(duì)的行動(dòng)與原定方案相同，小分隊(duì)最終在運(yùn)動(dòng)的極限位置，設(shè)運(yùn)動(dòng)的極限位置為Q （x，y），
則x=a-ar²+ar⁴-=

a

1-(-r2)

=

a

1+r2

，y=ar-ar³+ar⁵-=

ar

1+r2

，
∴大本營(yíng)應(yīng)在點(diǎn)（

a

1+r2

，

ar

1+r2

）附近去尋找小分隊(duì)．
（2）由

x= a 1+r2 y= ar 1+r2

消去r得（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

（其中x＞

a

2

，y＞0），
即行動(dòng)的最終目的地在以（

a

2

，0）為圓心，

a

2

為半徑的圓上．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生掌握連續(xù)的定義，會(huì)利用極限的方程解決實(shí)際問(wèn)題，會(huì)把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程．