Question

（文）橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑忽略不計(jì)）從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是    ．

Answer 1

【答案】分析：可假設(shè)長(zhǎng)軸在x軸，短軸在y軸，設(shè)A為左焦點(diǎn)，B是它的右焦點(diǎn)，對(duì)球的運(yùn)動(dòng)方向分沿x軸向左直線運(yùn)動(dòng)，沿x軸向右直線運(yùn)動(dòng)，及球從A不沿x軸，斜向上（或向下）運(yùn)動(dòng)，討論即可．
解答：解：假設(shè)長(zhǎng)軸在x軸，短軸在y軸，設(shè)A為左焦點(diǎn)，B是它的右焦點(diǎn)，以下分為三種情況：
（1）球從A沿x軸向左直線運(yùn)動(dòng)，碰到左頂點(diǎn)必然原路反彈，這時(shí)第一次回到A路程是2（a-c）；
（2 ）球從A沿x軸向右直線運(yùn)動(dòng)，碰到右頂點(diǎn)必然原路反彈，這時(shí)第一次回到A路程是2（a+c）；
（3）球從A不沿x軸斜向上（或向下）運(yùn)動(dòng)，碰到橢圓上的點(diǎn)C，反彈后經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)B，再?gòu)椀綑E圓上一點(diǎn)D，經(jīng)D反彈后經(jīng)過點(diǎn)A．
此時(shí)小球經(jīng)過的路程是4a．
綜上所述，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是4a或2（a-c）或2（a+c）．
故答案為：4a或2（a-c）或2（a+c）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，正確理解題意，分三種情況討論是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．