Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）證明：AC⊥BC₁；
（2）求二面角C₁-AB-C的余弦值大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AC，BC，CC₁兩兩垂直，建立如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz，寫出要用的點的坐標，根據(jù)兩個向量的數(shù)量級等于0，證出兩條線段垂直．
（2）根據(jù)所給的兩個平面的法向量一個可以直接看出另一個設出根據(jù)數(shù)量級等于0，求出結果，根據(jù)兩個平面的法向量所成的角求出兩個平面所成的角．

解答：解∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC，BC，CC₁兩兩垂直．
如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz，則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）． …（2分）
證明：（1）∵

AC

=（-3，0，0），

BC1

=（0，-4，4），
∴

AC

•

BC1

=0，
故AC⊥BC₁…（4分）
解：（2）平面ABC的一個法向量為

m

=（0，0，1），
設平面C₁AB的一個法向量為

n

=（x，y，z），

AC1

=（-3，0，4），

AB

=（-3，4，0），
由

n • AC1 =0 n • AB  =0

得：

-3x+4z=0 -3x+4y=0

…（6分）
令x=4，則z=3，y=3則

n

=（4，3，3）．…（7分）
故cos＜

m

，

n

＞=

3

34

=

3 34

34

．
所求二面角的大小為  arccos

3 34

34

點評：本題考查直線與平面平行的判斷，本題的關鍵是在平面上找出與直線平行的直線，根據(jù)有中點找中點的方法來解答．