Question

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，、、分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面BCE⊥平面CDE．
（Ⅱ）由F為CD中點(diǎn)，知F（a，a，0），．由此利用向量法能求出直線BF和平面BCE所成角的正弦值．
解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，、、分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．…（1分）
設(shè)AB=a，因?yàn)椤鰽CD為等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，
所以B（0，0，a），C（2a，0，0），D（0，2a，0），E（0，2a，2a），…（2分）
所以，，
，．…分
設(shè)平面BCE的法向量為=（x，y，z），
則由，得，
令z=2，則=（1，-1，2）．…（5分）
設(shè)平面CDE的法向量為=（x，y，z），
則由，得，
令x=1，則=（1，1，0）．…（7分）
所以=0，所以平面BCE⊥平面CDE．…（8分）
（Ⅱ）因?yàn)镕為CD中點(diǎn)，所以F（a，a，0），．
則cos＜，＞===-．…（11分）
設(shè)直線BF和平面BCE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜|=||=．
所以直線BF和平面BCE所成角的正弦值為．…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．