Question

【題目】已知圓：，點(diǎn)，直線.

(1)求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿足：對于圓上的任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）根據(jù)所求直線與已知直線垂直,可設(shè)出直線方程,再根據(jù)直線與圓相切,所以有(其中表示圓心到直線的距離),可得到直線方程；（2）方法一:假設(shè)存在這樣的點(diǎn),由于的位置不定,所以首先考慮特殊位置,①為圓與軸左交點(diǎn)；②為圓與軸右交點(diǎn)這兩種情況,由于對于圓上的任一點(diǎn)，都有為一常數(shù),可得①②兩種情況下的相等, 可得到,然后證明在一般的下,為一常數(shù).方法二:設(shè)出,根據(jù)對于圓上的任一點(diǎn)，都有為一常數(shù),設(shè)出以及該常數(shù),通過,代入的坐標(biāo)化簡,轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解.

（1）已知直線變形為，因?yàn)樗�求直線與已知直線垂直，

所以設(shè)所求直線方程為，即.

由直線與圓相切，可知，其中表示圓心到直線的距離，

則，得，故所求直線方程為.

（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，

當(dāng)為圓與軸左交點(diǎn)時(shí)，，

當(dāng)為圓與軸右交點(diǎn)時(shí)，

依題意，，解得（舍去），或.

下面證明：點(diǎn)對于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù).

設(shè)，則.

，

從而為常數(shù).

方法2：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為常數(shù)，則，

設(shè)于是，由于在圓上,所以,代入得，

，

即對恒成立，

所以，解得或（舍去），

故存在點(diǎn)對于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù).