Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)），x∈R，F(x)=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求F（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）能否大于零？

Answer 1

分析：（1）f（-1）=0?a-b+1=0，又值域?yàn)閇0，+∞）即最小值為0?4a-b²=0，求出f（x）的表達(dá)式再求F（x）的表達(dá)式即可；
（2）把g（x）的對(duì)稱軸求出和區(qū)間端點(diǎn)值進(jìn)行分類討論即可．
（3）f（x）為偶函數(shù)?對(duì)稱軸為0?b=0，把F（m）+F（n）轉(zhuǎn)化為f（m）-f（n）=a（m²-n²）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0來判斷即可．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0①（1分）
又函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），所以a≠0
且由y=a(x+

b

2a

)2+

4a-b2

4a

知

4a-b2

4a

=0即4a-b²=0②
由①②得a=1，b=2（3分）
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²．
∴F(x)=

(x+1)2(x＞0) -(x+1)2(x＜0)

（5分）
（2）由（1）有g(shù)（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=(x+

2-k

2

)2+1-

(2-k)2

4

，（7分）
當(dāng)

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-2時(shí)，
即k≥6或k≤-2時(shí)，g（x）是具有單調(diào)性．（9分）
（3）∵f（x）是偶函數(shù)
∴f（x）=ax²+1，∴F(x)=

ax2+1(x＞0) -ax2-1(x＜0)

，（11分）
∵m＞0，n＜0，設(shè)m＞n，則n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|（13分）
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-an²-1=a（m²-n²）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的綜合考查．其中（1）考查了二次函數(shù)解析式的求法．二次函數(shù)解析式的確定，應(yīng)視具體問題，靈活的選用其形式，再根據(jù)題設(shè)條件列方程組，即運(yùn)用待定系數(shù)法來求解．在具體問題中，常常會(huì)與圖象的平移，對(duì)稱，函數(shù)的周期性，奇偶性等知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起．