Question

A組：直角坐標系xoy中，已知中心在原點，離心率為

1

2

的橢圓E的一個焦點為圓C：x²+y²-4x+2=0的圓心．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為

1

2

的直線l₁，l₂．當直線l₁，l₂都與圓C相切時，求P的坐標．
B組：如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．已知點（1，e）和(e，

3

2

)都在橢圓上，其中e為橢圓離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF₁與直線BF₂平行，AF₂與BF₁交于點P，若AF1-BF2=

6

2

，求直線AF₁的斜率．

Answer 1

分析：A：（1）確定圓心坐標，設出橢圓方程，即可求得結論；
（2）確定l₁，l₂的方程，利用直線與圓相切，可得斜率之間的關系，結合橢圓方程，即可求得P的坐標；
B：（1）根據(jù)橢圓的性質和已知（1，e）和(e，

3

2

)都在橢圓上列式求解．
（2）設AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my，與橢圓方程聯(lián)立，求出|AF₁|、|BF₂|，根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解．

解答：A組：
解：（1）由x²+y²-4x+2=0，得（x-2）²+y²=2，∴圓C的圓心為點（2，0），
從而可設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其焦距為2c，
由題設知c=2，e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c=4，b²=a²-c²=12．
故橢圓E的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂．
則l₁，l₂的方程分別為l₁：y-y₀=k₁（x-x₀），l₂：y-y₀=k₂（x-x₀），且k1k2=

1

2

．
由l₁與圓c：（x-2）²+y²=2相切，得

|2k1+y0-k1x0|

k 2 1 +1

=

2

，
即[(2-x0)2-2]

k

2 1

+2(2-x0)y0k1+

y

2 0

-2=0．
同理可得[(2-x0)2-2]

k

2 2

+2(2-x0)y0k2+

y

2 0

-2=0．
從而k₁，k₂是方程[（2-x₀）²-2]k²+2（2-x₀）y₀k+y₀²-2=0的兩個實根
所以

(2-x0)2-2≠0 △＞0

①，且k₁k₂=

y02-2

(2-x0)2-2

=

1

2

∵

x02

16

+

y02

12

=1，
∴5x₀²-8x₀-36=0，
∴x₀=-2或x₀=

18

5

由x₀=-2得y₀=±3；由x₀=

18

5

得y₀=±

57

5

滿足①
故點P的坐標為（-2，3）或（-2，-3），或（

18

5

，

57

5

）或（

18

5

，-

57

5

）
B組
（1）解：由題設知a²=b²+c²，e=

c

a

，由點（1，e）在橢圓上，得

1

a2

+

c2

a2b2

=1，∴b=1，c²=a²-1．
由點（e，

3

2

）在橢圓上，得

e2

a2

+

3

4b2

=1
∴

a2-1

a4

+

3

4

=1，∴a²=2
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）解：由（1）得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
又∵直線AF₁與直線BF₂平行，∴設AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由

x12 2 +y12=1 x1+1=my1

，可得（m²+2）y₁²-2my₁-1=0．
∴y₁=

m+ 2m2+2

m2+2

，
∴|AF₁|=

2 (m2+1)+m m2+1

m2+2

①
同理|BF₂|=

2 (m2+1)-m m2+1

m2+2

②
由①②得|AF₁|-|BF₂|=

2m m2+1

m2+2

，∴

2m m2+1

m2+2

=

6

2

，解得m²=2．
∵注意到m＞0，∴m=

2

．
∴直線AF₁的斜率為

1

m

=

2

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．