Question

（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．橢圓E：與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓E的兩焦點(diǎn)的距離之和為．

（Ⅰ）求圓和橢圓E的方程；

（Ⅱ）試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段的長．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）圓C的方程為；橢圓E的方程為

（Ⅱ）Q（，）

【解析】（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為（m，n）（m<0，n>0），則該圓的方程為．……1分，已知該圓與直線y＝x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則＝2．，即＝4…… ①……3分，又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)（0，0）代入，得m²＋n²＝8．……②……5分，聯(lián)立方程①和②組成方程組解得，

∴圓C的方程為．……7分，

∵一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為，∴，，

∴橢圓E的方程為．……9分

（Ⅱ）由橢圓E的方程，得其焦距c＝4，∴右焦點(diǎn)為F（4，0），那么＝4．……10分

要探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長度4，可轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為頂點(diǎn)，半徑為4的圓與圓C：的圓的交點(diǎn)坐標(biāo)．聯(lián)立方程組：，……12分，解得或．

∴存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q（，），使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長．……14分