Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）與一定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到一定直線l：x=4的距離之比為 ．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）己知直線l'：x=my+1交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l的垂線，垂足依次為點(diǎn)D、E．連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得 = ，

即2 =丨x﹣4丨，

兩邊平方得：4x2﹣8x+4+4y2=x2﹣8x+16．整理得： ．

∴動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程為橢圓

（2）解：當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N（ ，0）．

證明：如圖，

當(dāng)m=0時(shí)，聯(lián)立直線x=1與橢圓 ，

得A（1， ）、B（1，﹣ ）、D（4， ）、E（4，﹣ ），

過(guò)A、B作直線x=4的垂線，得兩垂足D（4， ）、E（4，﹣ ），

由直線方程的兩點(diǎn)式得：直線AE的方程為：2x+2y﹣5=0，直線BD的方程為：2x﹣2y﹣5=0，

方程聯(lián)立解得x= ，y=0，

直線AE、BD相交于一點(diǎn)（ ，0）．

假設(shè)直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N（ ，0）．

證明：設(shè)A（my1+1，y1），B（my2+1，y2），則D（4，y1），E（4，y2），

由 ，消去x，并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

△=36m2﹣4×（3m2+4）×（﹣9）=144m2+144＞0＞0，

由韋達(dá)定理得y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ．

由 =（my1﹣ ，y1）， =（ ，y2），

則（my1﹣ ）y2﹣ y1=my1y2﹣ （y1+y2）=m×（﹣ ）﹣ ×（﹣ ）=0

所以， ∥ ，所以A、N、E三點(diǎn)共線，

同理可證B、N、D三點(diǎn)共線，所以直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N（ ，0）

【解析】（1）直接利用求軌跡方程的步驟，由題意列出滿(mǎn)足動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到一定直線l：x=4的距離之比為 的等式，整理后即可得到點(diǎn)P的軌跡；（2）如果存在滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)N，則該點(diǎn)對(duì)于m=0的直線也成立，所以先取m=0，與橢圓聯(lián)立后解出A、B的坐標(biāo)，同時(shí)求出D、E的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫(xiě)出AE、BD所在的直線方程，兩直線聯(lián)立求出N的坐標(biāo)，然后證明該點(diǎn)對(duì)于m取其它值時(shí)也滿(mǎn)足直線AE、BD是相交于定點(diǎn)N，方法是用共線向量基本定理．