Question

設(shè)拋物線(xiàn)y²=8x與其過(guò)焦點(diǎn)的斜率為1的直線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

OA

•

OB

 

．

Answer 1

分析：求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)AB的方程，代入拋物線(xiàn)y²=8x的方程化簡(jiǎn)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出 x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，進(jìn)而求得y₁•y₂的值，由

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂  運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：拋物線(xiàn)y²=8x中，p=4，

p

2

=2，故拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），由題意有可得 直線(xiàn)AB的方程為  y-0=x-2，即 y=x-2，
代入拋物線(xiàn)y²=8x的方程化簡(jiǎn)可得  x²-12x+4=0，∴x₁+x₂=12，x₁•x₂=4，
∴y₁•y₂=（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=-16，
∴

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂ ）=x₁•x₂+y₁•y₂=4-16=-12，
故答案為-12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，求出x₁•x₂ 和y₁•y₂的值，是解題的關(guān)鍵．