Question

某鄉(xiāng)鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村位于一個(gè)邊長為a公里的正三角形的三頂點(diǎn)上，鄉(xiāng)鎮(zhèn)在對外經(jīng)濟(jì)改革開放政策中已獲得一外資項(xiàng)目，準(zhǔn)備在位于∠BAC的角平分線上的選址E處（記∠EBD=θ），修建一農(nóng)副產(chǎn)品加工廠，要求使得E到三村的中敦f（θ）盡可能的�。�
（1）試求出f（θ）關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）間θ為何值時(shí)，f（θ）最小？試述理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，，
∴
∴f（θ）=2BE+a-ED=（0≤θ≤）；
（2）構(gòu)造函數(shù)（0≤θ≤），
∴（0≤θ≤）；
令g′（θ）=0，可得sinθ=，
∵0≤θ≤，∴θ=
當(dāng)0≤θ＜時(shí)，g′（θ）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)＜θ≤時(shí)，g′（θ）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
所以θ=時(shí)，取得最小值
因?yàn)閍＞0，所以取得最小值時(shí)，f（θ）最小為a，此時(shí)θ=
分析：（1）利用θ表示BE、ED，進(jìn)而可得f（θ）關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）構(gòu)造函數(shù)（0≤θ≤），求導(dǎo)函數(shù)，求得θ=時(shí)，取得最小值，從而可得f（θ）最小值及θ的值．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)知識解決實(shí)際問題，考查函數(shù)模型的確立，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值．