Question

（2013•寶山區(qū)二模）已知兩個(gè)不相等的平面向量

α

，

β

（

α

≠

0

）滿(mǎn)足|

β

|=2，且

α

與

β

-

α

的夾角為120°，則|

α

|的最大值是

4 3

3

．

Answer 1

分析：如圖所示：設(shè)

α

=

OA

，

β

=

OB

，則

AB

=

β

-

α

，∠BAO=60°，∠BAC=120°，且 OB=2，0°＜∠B＜120°．△AOB中，由正弦定理求得|

α

|=

4 3

3

sin∠B，由此可得|

α

|的最大值．

解答：解：如圖所示：設(shè)

α

=

OA

，

β

=

OB

，則

AB

=

β

-

α

，∠BAO=60°，∠BAC=120°，
且 OB=2，0°＜∠B＜120°．
△AOB中，由正弦定理可得

OB

sin∠OAB

=

OA

sin∠B

，即

2

sin60°

=

| α |

sin∠B

，
解得|

α

|=

4 3

3

sin∠B．
由于當(dāng)∠B=90°時(shí)，sin∠B最大為1，故|

α

|的最大值是

4 3

3

，
故答案為

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求向量的模的方法，正弦定理，以及正弦函數(shù)的值域，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．