Question

（1）已知直線m平行于直線l：x+y=0，且m與l的距離是

2

，求直線m的方程；
（2）求經(jīng)過兩點(diǎn)A（1，4）、B（3，2），且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線m的一般式方程，根據(jù)兩平行線的距離公式表示出直線l與直線m的距離，讓距離等于

2

列出關(guān)于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值，進(jìn)而得到直線m的方程；
（2）根據(jù)垂徑定理可知AB的垂直平分線過圓心，所以利用A和B的坐標(biāo)表示出過A和B的直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出AB垂直平分線的斜率，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)和求出的斜率寫出AB的垂直平分線的方程，與y=0聯(lián)立即可求出圓心的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心到點(diǎn)A的距離即為圓的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答：解：（1）設(shè)直線m：x+y+λ=0，
由直線m平行于直線l，且m與l的距離是

2

，
則

|λ|

1+1

=

2

，解得：λ=±2，
所以直線m：x+y+2=0或x+y-2=0；
（2）設(shè)線段AB的坐標(biāo)為C，則C的坐標(biāo)為（

1+3

2

，

4+2

2

）即（2，3），
過A與B的直線方程的斜率為

4-2

1-3

=-1，所以AB的垂直平分線的斜率為1，
則AB的垂直平分線的方程為：y-3=x-2即x-y-1=0，
又圓心在y=0上，所以聯(lián)立得：

y=0 x-y-1=0

，得到圓心坐標(biāo)為（-1，0），
而圓的半徑r=

(1+1)2+(4-0)2

=2

5

，
故圓的方程為：（x+1）²+y²=20．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握兩平行線間的距離公式以及兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，是一道綜合題．