Question

（本小題滿分12分）

已知數(shù)列{}滿足,且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中=1,2,3,….

（Ⅰ）證明：數(shù)列{lg(1+)}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)=(1+)（1+）…（1+），求及數(shù)列{}的通項(xiàng).

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明見解析；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(+1)=2n-1lg(1+)

=2n-1lg3=lg.∴+1=. 則 = -1     

∴=(1+)(1+)…(1+)=···…·   

==.∴=,=-1.

【解析】(I)緊扣等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可.先由由于(,)在函數(shù)的圖象上,

可得,從而可得,,從而得到證明.

(II)求出,然后可知然后再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.

（Ⅰ）證明: 由于(,)在函數(shù)的圖象上，

∴=+2,∴+1=.                      …………4分

∵=2，∴+1﹥1,∴l(xiāng)g（+1）=2lg（+1）.

∴數(shù)列{lg(+1)}是公比為2的等比數(shù)列.                 …………6分

（Ⅱ）解:  由（Ⅰ）知lg(+1)=2n-1lg(1+)

=2n-1lg3=lg.∴+1=. 則 = -1              …………9分

∴=(1+)(1+)…(1+)=···…·   

==.∴=,=-1.                       …………12分