Question

已知f(x)=x+

b

x

-3，x∈[1，2]
（1）b=2時(shí)，求f（x）的值域；
（2）b≥2時(shí)，f（x）＞0恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)b=2時(shí)，f(x)=x+

2

x

-3，x∈[1，2]，利用雙鉤函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）的值域；
（2））b≥2時(shí)，f（x）＞0恒成立，即求函數(shù)f（x）的最小值＞0即可，利用基本不等式求最值，一定注意等號(hào)成立的條件，因此對(duì)b進(jìn)行討論，當(dāng)2≤b＜4時(shí)，f（x）最小值為f(

b

)=2

b

-3，b≥4時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，f（x）最小值為f(2)=

b

2

-1，從而求得b的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)b=2時(shí)，f(x)=x+

2

x

-3，x∈[1，2]．
因?yàn)閒（x）在[1，

2

]上單調(diào)遞減，在[

2

，2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f(

2

)=2

2

-3．
又因?yàn)閒（1）=f（2）=0，
所以f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[2

2

-3，0]．
（2）（�。┊�(dāng)2≤b＜4時(shí)，因?yàn)閒（x）在[1，

b

]上單調(diào)遞減，在[

b

，2]上單調(diào)遞增，
f（x）最小值為f(

b

)=2

b

-3，f（x）＞0，即2

b

-3＞0．
得4＞b＞

9

4

．
（ⅱ）b≥4時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，f（x）最小值為f(2)=

b

2

-1，f（x）＞0，
即

b

2

-1＞0，得b＞2，因此b≥4．
綜合（ⅰ）（ⅱ）可知b＞

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查利用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題，注意正定等，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．