Question

如圖，將圓分成n個扇形區(qū)域，用3種不同顏色給每一個扇形區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為a_n.求

(Ⅰ)a₁，a₂，a₃，a₄；

(Ⅱ)a_n與a_n+1(n≥2)的關(guān)系式；

(Ⅲ)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并證明a_n≥2n(n∈N^*)．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，不同的染色方法種數(shù)a₁=3, 

當(dāng)n=2時，不同的染色方法種數(shù)a₂=3×2=6, 

當(dāng)n=3時，不同的染色方法種數(shù)a₃=3×2×1=6, 

當(dāng)n=4時，分扇形區(qū)域1和3同色與否兩種情況，

∴不同的染色方法種數(shù)a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18;

（Ⅱ）依次對扇形區(qū)域1,2,…,n,n+1染色，不同的染色方法種數(shù)為3×2ⁿ,其中扇形區(qū)域1與n+1不同色的有a_n+1種,扇形區(qū)域1與n+1同色的有a_n種,

∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ(n≥2). 

（Ⅲ）∵a_n+a_n+1=3×2ⁿ(n≥2)

∴a₂+a₃=3×2²

a₃+a₄=3×2³

…

a_n-1+a_n=3×2^n-1

將上述n-2個等式兩邊分別乘（-1）^k  (k=2,3,…,n-1)再相加,得

a₂+(-1)^n-1a_n=3×2²-3×2³+…+3×(-1)^n-1×2^n-1

∴a₂+(-1)^n-1a_n=3×

a_n=2ⁿ+2·(-1)ⁿ 

從而a_n= 

證明：當(dāng)n=1時，a₁=3＞2×1

當(dāng)n=2時，a₂=6＞2×1

當(dāng)n≥3時，a_n=2ⁿ+2·(-1)ⁿ=(1+1)ⁿ+2·(-1)ⁿ

=1+n+…+n+1+2·(-1)ⁿ

≥2n+2+2·(-1)ⁿ≥2n