Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）（其中x≥0）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)F（1，0），求的值；
（3）若，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）依題意知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離等于P到直線x=-1的距離，
∴曲線C是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線
∵，∴p=2
∴曲線C方程是y²=4x
（2）當(dāng)l平行于y軸時(shí)，其方程為x=1，由解得A（1，2）、B（1，-2）
此時(shí)
當(dāng)l不平行于y軸時(shí)，設(shè)其斜率為k，則由得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁x₂=1，
∴==
（3）設(shè)l：x=ty+b代入拋物線y²=4x消去x，得y²-4ty-4b=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b．
∵
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b．
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2，
∴直線l過定點(diǎn)（2，0）．
分析：（1）依題意知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離等于P到直線x=-1的距離，曲線C是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，由此可求曲線C方程；
（2）當(dāng)l平行于y軸時(shí)，其方程為x=1，此時(shí)；當(dāng)l不平行于y軸時(shí)，設(shè)l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積，可得的值；
（3）設(shè)l：x=ty+b代入拋物線y²=4x消去x，得y²-4ty-4b=0，利用韋達(dá)定理及，可得b的值，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查向量的數(shù)量積，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定拋物線的方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解．