Question

（2009•孝感模擬）已知向量

a

=（

3

cos x，0），

b

=（0，sin x），記函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）²+

3

sin 2x，
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象按向量

d

平移后，得到的圖象關于坐標原點中心對稱且在[0，

π

4

]上單調遞減，求長度最小的

d

．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量數(shù)量積的運算，化簡f（x）=2cos（2x-

π

3

）+2，再根據三角函數(shù)性質求解．
（2）設

d

=（m，n），先求出函數(shù)f（x） 的圖象平移后對應的函數(shù)g（x），根據中心對稱性求出m，n的值或表達式．再結合條件要求確定長度最小的

d

．

解答：解：（1）∵f（x）=（

a

+

b

）²+

3

sin 2x=3cos²x+sin²x+

3

sin2x=2cos（2x-

π

3

）+2       …（3分）
∴f（x）≥0，當且僅當2x-

π

3

=2kπ+π，即x=kπ+

2π

3

，k∈Z時取到等號．
∴函數(shù)f（x）的最小值是0，此時x的集合是{x|x=kπ+

2π

3

，k∈Z}         …（6分）
（2）設

d

=（m，n），函數(shù)f（x） 的圖象平移后對應的函數(shù)為g（x），則g（x）=2cos[2（x-m）-

π

3

]+2+n
由題意函數(shù)g（x）的圖象關于坐標原點中心對稱，得
cos[2（0-m）-

π

3

]=0，且2+n=0，解得m=

1

2

kπ+

π

12

，k∈Z，且n=-2             …（8分）
①當m=kπ+

π

12

，k∈Z時，g（x）=2cos（2x-

π

2

）=2sin 2x，在[0，

π

4

]上單調遞增，不符合題意，舍去；
②當m=kπ+

7π

12

，k∈Z時，g（x）=2cos（2x+

π

2

）=-2sin 2x，在[0，

π

4

]上單調遞減，符合題意．…（10分）
∴

d

=（ kπ+

7π

12

，-2），k∈Z【若求出的結果是（kπ+

π

12

，-2），給（10分）】
∴長度最小的

d

=（-

5π

12

，-2）…（12分）

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)性質，考查分析解決問題、分類討論、計算能力．