Question

【題目】(2016·山東)設(shè)f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.

(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知f(x)在x＝1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）a＞.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)

可得，

從而，

討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)的兩種情況即得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .分以下情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，綜合即得.

試題解析：（Ⅰ）由

可得，

則，

當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .

①當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

所以在x=1處取得極小值，不合題意.

②當(dāng)時(shí)， ，由（Ⅰ）知在內(nèi)單調(diào)遞增，

可得當(dāng)當(dāng)時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，

所以在x=1處取得極小值，不合題意.

③當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，不合題意.

④當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

所以f（x）在x=1處取得極大值，合題意.

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.