Question

袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：
（1）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；
（2）隨機(jī)變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A，一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同的事件記為B，易得事件A和事件B是互斥事件，易得事件B的概率，由互斥事件的意義，可得答案，
（2）由題意ξ有可能的取值為：2，3，4，5，分別計(jì)算其取不同數(shù)值時(shí)的概率，列出分步列，進(jìn)而計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A，一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同的事件記為B，則事件A和事件B是互斥事件，因?yàn)?span id="urhb5pa" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">P(B)=

C 1 5 • C 2 2 • C 1 8

C 3 10

=

1

3

所以P(A)=1-P(B)=1-

1

3

=

2

3

．（4分）
（2）由題意ξ有可能的取值為：2，3，4，5．（5分）
P(ξ=2)=

C 2 2 • C 1 2 + C 1 2 • C 2 2

C 3 10

=

1

30

；（8分）
P(ξ=3)=

C 2 4 • C 1 2 + C 1 4 • C 2 2

C 3 10

=

2

15

；（9分
）P(ξ=4)=

C 2 6 • C 1 2 + C 1 6 • C 2 2

C 3 10

=

3

10

；（10分）
P(ξ=5)=

C 2 8 • C 1 2 + C 1 8 • C 2 2

C 3 10

=

8

15

；（11分）
所以隨機(jī)變量ε的概率分布為
（12分）
因此ξ的數(shù)學(xué)期望為：Eξ=2×

1

30

+3×

2

15

+4×

3

10

+5×

8

15

=

13

3

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算以及隨機(jī)變量的分布列的運(yùn)用，注意其公式的正確運(yùn)用即可．