Question

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，已知總收益R（總收益指工廠出售產(chǎn)品的全部收入，它是成本與總利潤(rùn)的和，單位：元）是年產(chǎn)量（單位：件）的函數(shù).滿足關(guān)系式：

R=f(Q)=

（1）將總利潤(rùn)L（單位：元）表示為Q 的函數(shù);

（2）求每生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)、總利潤(rùn)最大？此時(shí)總利潤(rùn)是多少？

Answer 1

解析：（1）根據(jù)題意，總成本應(yīng)為C=g(Q)=20 000+100Q,

    從而可得總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=φ(Q)=

   

    即L=

    （2）當(dāng)0≤Q≤400時(shí),

    L=-（Q-300）²-20 000+45 000=-（Q-300）²+25 000.

    此時(shí)當(dāng)Q=300時(shí)，L_最大=25 000；

    當(dāng)Q＞400時(shí)，L=60 000-100Q＜60 000-100×400=20 000＜25 000；

    所以，當(dāng)Q=300時(shí)，L_最大=25 000.

    答：每年生產(chǎn)300件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25 000元.