Question

已知函數對任意都滿足，且，數列滿足：，.
（Ⅰ）求及的值;
（Ⅱ）求數列的通項公式;
（Ⅲ）若，試問數列是否存在最大項和最小項？若存在，求出最大項和最小項；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）,,（Ⅱ）,（Ⅲ）當，即時，的最大項為.當，即時，的最小項為.

試題分析：（Ⅰ）對應抽象函數，一般方法為賦值法. 在中，取，得，在中，取，得，（Ⅱ）在中，令，，得，即.所以是等差數列，公差為2，又首項，所以,.（Ⅲ）研究數列是否存在最大項和最小項，關鍵看通項公式的特征.令，則，顯然，又因為，所以當，即時，的最大項為.當，即時，的最小項為
解：（Ⅰ）在中，取，得，
在中，取，得，    2分
（Ⅱ）在中，令，，
得，即.
所以是等差數列，公差為2，又首項，所以,.          6分
（Ⅲ）數列存在最大項和最小項
令，則，
顯然，又因為，
所以當，即時，的最大項為.
當，即時，的最小項為.    13分