Question

已知向量

m

=(sin

ωx

2

，1)，

n

=(

3

Acos

ωx

2

，

A

2

cosωx)(A＞0，ω＞0)，函數(shù)f(x)=

m

•

n

的最大值為6，最小正周期為π．
（1）求A，ω的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求g(x)在[0，

5π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知中兩向量的坐標，求出函數(shù)的解析式，進而根據(jù)函數(shù)的最大值及最小正周期，可求出A，ω的值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)圖象的平移變換法則，求出平移后函數(shù)y=g（x）的解析式，進而結合正弦型函數(shù)的圖象和性質，可求出g(x)在[0，

5π

6

]上的值域．

解答：解：（1）由題意有f(x)=

m

•

n

=A(

3

2

sinωx+

1

2

cosωx)=Asin(ωx+

π

6

)…（4分）
∵最大值為6，周期為π且A＞0，ω＞0
∴A=6，ω=

2π

T

=

2π

π

=2…（6分）
（2）∵y=f(x)向左平移

π

12

，向上移動1個單位
∴g(x)=6sin(2x+

π

3

)+1…（8分）
∵x∈[0，

5π

6

]則2x+

π

3

∈[

π

3

，2π]…（10分）
∴sin(2x+

π

3

)∈[-1，1]
即g（x）的值域為[-5，7]…（12分）

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的圖象和性質，向量的數(shù)量積運算，函數(shù)圖象的平移，其中利用向量的數(shù)量積公式及函數(shù)圖象的平移變換法則求出函數(shù)的解析式，是解答的關鍵．