Question

（2013•大連一模）下列說法正確的是（　�。�

• A．?x∈（0，π），均有sinx＞cosx
• B．命題“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1＜0”
• C．“a=0”是“函數(shù)f（x）=x³+ax²+x為奇函數(shù)”的充要條件
• D．?x∈R，使得sinx+cosx=

  5

  3

  成立

Answer 1

分析：選項A，可舉x=

π

6

說明錯誤；選項B，正確的應(yīng)為“?x∈R，均有x²+x+1≥0”；選項C，可由奇函數(shù)的性質(zhì)說明正確；選項D，由三角函數(shù)的知識可得sinx+cosx的值域為[-

2

，

2

]，因為

5

3

∉[-

2

，

2

]，故錯誤．

解答：解：選項A，當(dāng)x=

π

6

時，sin

π

6

=

1

2

，cos

π

6

=

3

2

，顯然有x∈（0，π），但sinx＜cosx，故A錯誤；
選項B，命題“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定應(yīng)該為：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”，故B錯誤；
選項C，當(dāng)a=0時，數(shù)f（x）=x³+x顯然為奇函數(shù)，當(dāng)f（x）=x³+ax²+x為奇函數(shù)時，由f（0）=0可得a=0，
故“a=0”是“函數(shù)f（x）=x³+ax²+x為奇函數(shù)”的充要條件，故C正確；
選項D，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，因為

5

3

∉[-

2

，

2

]，
故不存在x∈R，使sinx+cosx=

5

3

，故D錯誤．
故選C

點評：本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)的性質(zhì)以及特稱命題的否定，屬基礎(chǔ)題．