Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+

2

x2

+

1

x3

．
（1）求y=f（x）在[-4，-

1

2

]上的最值；
（2）若a≥0，求g（x）=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，由表得到函數(shù)的最值．
（2）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過判斷導(dǎo)函數(shù)等于0根的情況，對參數(shù)a進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求出函數(shù)的極值．

解答：解：（1）f′（x）=-

(x+1)(x+3)

x4

．
令f′（x）＞0，得-3＜x＜-1，
令f′（x）＜0，得x＜-3，-1＜x＜0，x＞0．
列出x，f′（x），f（x）的變化情況表

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，- 1 2 ）	- 1 2
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	- 9 64	?	極小值 - 4 27		極大值0		-2

∴最大值為0，最小值為-2．
（2）g′（x）=-

x2+4x+3a

x4

；
設(shè)u=x²+4x+3a．
△=16-12a，
①當(dāng)a≥

4

3

時(shí)，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）沒有極值點(diǎn)
②當(dāng)0＜a＜

4

3

時(shí)，x₁=-2-

4-3a

，x₂=-2+

4-3a

＜0．
減區(qū)間：（-∞，x₁），（x₂，0），（0，+∞），增區(qū)間：（x₁，x₂）．
∴有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂．
③當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=

1

x

+

2

x2

，g′（x）=-

x+4

x3

．
減區(qū)間：（-∞，-4），（0，+∞），增區(qū)間：（-4，0）．
∴有一個(gè)極值點(diǎn)x=-4．
綜上所述：a=0時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)x=-4；
0＜a＜

4

3

時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)x=-2±

4-3a

；
a≥

4

3

時(shí)沒有極值點(diǎn)．

點(diǎn)評：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再求出閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值，從中選出最值；求函數(shù)的極值，一般令導(dǎo)函數(shù)等于0求出根，再判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號是否異號．