Question

已知雙曲線，離心率e=，右準(zhǔn)線L₂與一條漸近線L交于點(diǎn)P，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，|PF|=3．
（1）求雙曲線的方程；
（2）求傾斜角為，的弦AB所在直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意不妨取其中一條漸近線方程為：y=以及e=可求出點(diǎn)P為（）再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式代入|PF|=3結(jié)合c²=a²+b²即可求出a，b就可寫出雙曲線的方程了．
（2）根據(jù)題意有傾斜角為，因此可將直線方程設(shè)為斜截式再與雙曲線方程聯(lián)立求出兩根之和兩根之積后代入弦長公式即可求出截距也就寫出直線方程了．
解答：解：∵離心率e=
∴
∴c=即F（）
又∵右準(zhǔn)線L₂：x=，不妨取其中一條漸近線方程為：y=，，
∴右準(zhǔn)線L₂與一條漸近線L交于點(diǎn)P為（）
∵|PF|=3
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可得①
又∵c²=a²+b²②，，
∴由①②可知25a²=400
∴a²=16，b²=9
∴所求雙曲線的方程為：
（2）由題意可設(shè)弦AB所在直線方程為：y=-x+b且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
令則7x²-32bx+16b²+144=0故
∴|AB|==
∴b²=11
∵△=（32b）²-4×7×（16b²+144）＞0
∴b²＞7
∴b=
∴弦AB所在直線方程為：y=-x+．
點(diǎn)評：本題主要對直線與圓錐曲線的綜合問題的考查．考查內(nèi)容涉及到漸近線，兩點(diǎn)間的距離公式，直線方程的設(shè)法，弦長公式．解題的關(guān)鍵是要利用雙曲線中隱含的條件c²=a²+b²和求出b²=11后要驗證是否滿足△＞0！