Question

（備用題）如圖，已知橢圓到它的兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4，A、B分別是它的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（I）求此橢圓的方程及離心率；
（II）平行于AB的直線(xiàn)l與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|的最大值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由橢圓上的點(diǎn)M到它的兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4，可得a的值，再將M（1，）代入，即可確定橢圓方程及離心率；
（II）設(shè)l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理確定|PQ|的表達(dá)式，從而可求|PQ|的最大值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．
解答：解：（I）由題意，∵橢圓上的點(diǎn)M到它的兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4，
∴2a=4，∴a=2
∴方程為
將M（1，）代入得，∴b²=3，∴c²=1
∴橢圓方程為：，；
（II）∵，∴設(shè)l的方程為：
由，∴
∴△=12（6-m²）＞0，∴0≤m²＜6
設(shè)，則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|PQ|=•==
∵0≤m²＜6，∴m²=0，即m=0時(shí)，|PQ|max=，此時(shí)l的方程為
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．