Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱與底面垂直，且側(cè)棱長為

2

2

a，點(diǎn)D₁為A₁C₁中點(diǎn)．
（1）求證：直線BC₁∥平面AB₁D₁
（2）求三棱錐B-AB₁D₁的體積．
（3）若D為AC中點(diǎn)，P在線段D₁D上．
試確定P點(diǎn)位置，使平面PAB₁⊥平面ABB₁A₁

Answer 1

分析：（1）連A₁B交AB₁于O點(diǎn)，連OD₁在△A₁BC₁中，由三角形中位線得到OD₁∥BC₁，再由線面平行的判定定理得到直線BC₁∥平面AB₁D₁
（2）由面A₁B₁C₁⊥面A₁B₁AB，過D₁點(diǎn)作D₁M⊥A₁B₁垂足為M，線段D₁M的長為三棱錐D₁-ABB₁的高，再由體積公式求解．
（3）如圖：要使平面PAB₁⊥平面ABB₁A₁只需使PQ⊥平面ABB₁A₁，就可以了．

解答：（1）證明：
連A₁B交AB₁于O點(diǎn)，連OD₁在△A₁BC₁中，
∵O，D₁分別為A₁B，A₁C₁的中點(diǎn)．
∴OD₁是△A₁BC₁的中位線
∴OD₁∥BC₁
又∵OD₁?平面AB₁D₁，BC₁?平面AB₁D₁
∴BC₁∥平面AB₁D₁（4分）

（2）解：過D₁點(diǎn)作D₁M⊥A₁B₁垂足為M
依題意得D₁M⊥平面ABB₁A₁
∴線段D₁M的長為三棱錐D₁-ABB₁的高
且D1M=

3

4

a
∴VB-AB1D1=VD1-ABB1=

1

3

S△ABB1•

D

1

M=

1

3

×

1

2

×AB×BB1×D1M
=

1

6

•a•

2

2

a•

3

4

a=

6

48

a3（8分）

（3）過M點(diǎn)作MN⊥AB，垂足為N，連DN
依題意可知四邊形MNDD₁為矩形
且DN⊥平面ABB₁A₁
∵D為AC中點(diǎn)∴

AN

AB

=

1

4

設(shè)MN∩AB₁=Q連PQ
要使平面PAB₁⊥平面ABB₁A₁
只需使PQ⊥平面ABB₁A₁
∴PQ∥DN∴四邊形QNDP為矩形∴QN=PD
又∵M(jìn)N∥B₁B∴QN∥B₁B
∴

QN

B1B

=

AN

AB

=

1

4

∴PD=QN=

1

4

B1B=

1

4

D1D
∴P為D₁D的四等分點(diǎn)且PD=

1

4

D1D=

2

8

a（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查線面平行和線面垂直的判定定理，同時培養(yǎng)學(xué)生平面和空間的轉(zhuǎn)化能力．